Fullerene Nanodiscs: From Chemistry to Combinatorics

Um grafo é um modelo matemático utilizado para representar relações entre objetos. O estudo formal desses objetos combinatórios e suas relações levou à criação da chamada Teoria de Grafos, que foi aplicada a problemas de grande escala em diversas áreas, como matemática, física, informática, engenharia, química e psicologia. Grafos fulerenos são modelos matemáticos para moléculas compostas exclusivamente por átomos de carbono, descobertas experimentalmente no início da década de 1980. Diversos parâmetros associados a estes grafos vêm sendo discutidos, buscando descrever a estabilidade destas moléculas. Por definição, grafos fulerenos são cúbicos, planares, 3-conexos formados por faces pentagonais e hexagonais.   Uma coloração total de um grafo G atribui cores aos vértices e arestas de G tal que elementos adjacentes ou incidentes tenham cores distintas. A famosa Conjectura da Coloração Total permanece aberta há mais de 50 anos e está provada para grafos cúbicos, mas ainda não foi demonstrada para grafos regulares e nem para grafos planares arbitrários. O comprimento do menor ciclo de um grafo é denominado cintura. Nosso objetivo é estudar a coloração total de uma subfamília infinita de grafos fulerenos, os nanodiscos de fulerenos D_r, com distância entre a camada interna (externa) e a camada central dada pelo parâmetro raio r ? 2, motivados por uma conjectura de que a cintura de um grafo é um parâmetro relevante no estudo da coloração total.  Para destacar a escolha da classe de grafos estudada, apresentamos um aporte histórico da descoberta da molécula de carbono que pode ser modelada através de um grafo cúbico planar especial que possui cintura 5. Fornecemos a primeira descrição combinatória para os nanodiscos para aprimorar a compreensão desta classe, e em seguida estudamos a coloração harmônica em subfamílias infinitas de nanodiscos, para que então possamos enfrentar a desafiadora coloração total nesses grafos.