On the Computation of Sparse Reflexive Generalized Inverses

A pseudo-inversa de Moore-Penrose (M-P) pode ser usada em várias aplicações de álgebra linear; por exemplo, para calcular soluções de mínimos quadrados de sistemas lineares inconsistentes. Entretanto, independentemente de uma dada matriz ser esparsa, sua pseudo-inversa pode ser completamente densa, levando potencialmente a um alto custo computacional e dificuldades numéricas, especialmente ao lidarmos com matrizes de alta dimensão. A pseudo-inversa M-P é caracterizada por quatro propriedades, mas nem todas precisam ser atendidas para algumas aplicações. Nesta dissertação, aplicamos otimização matemática para induzir esparsidade geral e esparsidade estruturada em inversas generalizadas de uma dada matriz que satisfaz somente subconjuntos específicos das propriedades M-P. Utilizamos minimização da norma-1 (vetorial) para induzir esparsidade geral (não-estruturada) e a minimização da norma-2,1 para induzir esparsidade (estruturada) em linhas. A esparsidade estruturada é útil, não apenas por causa da eficiência computacional, mas também pela explicabilidade. No contexto da aplicação dos mínimos quadrados, é desejável ter esparsidade em linhas, ou seja, ter poucas linhas não nulas na inversa generalizada, pois assim o modelo linear associado é mais explicável. Mais especificamente, a teoria dos mínimos quadrados conecta variáveis explicativas a variáveis de resposta (observações), por meio de um modelo de regressão linear no qual os parâmetros desconhecidos da relação linear são estimados pela solução dos mínimos quadrados. A esparsidade em linhas corresponde à seleção de um pequeno número de variáveis explicativas para determinar o modelo linear. Nós também investigamos a aplicação de procedimentos de busca local para construir inversas generalizadas com esparsidade estruturada, posto pequeno e com controle da magnitude das entradas.