Centro de Massa de Matrizes Simétricas Definidas Positivas: Descrição de Um Algoritmo e Sua Implementação
Autores
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Glaydson José Bianquini Couto
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Informações:
Publicações do PESC
Apresenta-se neste trabalho, uma evolução do algoritmo de ponto proximal com decomposições de Schur, inicialmente proposto por GREGORIO-OLIVEIRA em 2009, aplicado a resolução do problema de centro de massa riemanianno (PCMR) na variedade das matrizes simétricas definidas positivas. O método baseia-se na fatoração de uma matriz simétrica definida positiva X na forma QΛQ^t, onde Λ e Q são matrizes diagonal definida positiva e ortogonal, respectivamente. Em nossa versão, é proposta uma nova atualização para a matriz ortogonal Q, tendo em vista a estrutura riemanniana do grupo ortogonal O^n. A solução da iteração principal, passa então a ser obtida em duas etapas iterativas e recursivas. Primeiro, fixamos uma matriz ortogonal e obtemos a solução de um problema não-linear riemanniano no conjunto das matrizes diagonais definidas positivas, que é isomorfo ao octante positivo de R^n. Depois fixamos a solução obtida anteriormente e computamos a solução de um problema não-linear riemanniano no grupo ortogonal O^n. Em ambas as etapas é empregado o método de Armijo generalizado para variedades riemannianas e elas são aplicadas recursivamente, nessa ordem, até que se obtenha a solução da iteração principal. Ao final, são apresentadas simulações computacionais para o algoritmo.
It is presented in this work, an evolution of the proximal point algorithm with Schur decomposition, first proposed by GREGÓRIO and OLIVEIRA in 2009, applied to solve the riemannian center of mass problem in the manifold of symmetric positive definite matrices. The method is based on factorization of a symmetric positive definite matrix X in the form QΛQ^t ,where Λ and Q are diagonal positive definite and orthogonal matrices, respectively. In our version, we propose a new update to the orthogonal matrix Q that takes accounting the riemannian structure of the orthogonal group O^n. The solution of the main iteration is obtained in two iteractive and recursive steps. First, we fix an orthogonal matrix and we obtain the solution of a nonlinear riemannian problem in the set of diagonal positive definite matrices, which is isomorphic to the positive octant of R^n. After we fix the solution obtained above and compute the solution of a nonlinear riemannian problem in the real orthogonal group O^n. In both steps is employed the generalized armijo method on riemannian manifolds and they are applied recursively until the solution os the main iteration be computed. Finally, some computacional simulations are presented for the algorithm.