Avaliação de Opções Européias pelo Método dos Elementos Finitos

Apresenta-se, nesta dissertação, o método para a determinação do preço correto de uma opção do tipo Européia tendo como subjacente um ou mais ativos financeiros. Supõe-se que os ativos subjacentes sejam descritos por uma difusão de Itô cujos coeficientes de difusão são funções determinísticas do tempo e dos ativos subjacentes, o que  e conhecido como volatilidade local. O método proposto é fundamentado na hipótese de que os preços se formam de modo a não permitir que se possa realizar uma estratégia de compra sem custo em um determinado instante e, em um instante futuro, esta apresente impossibilidade de perdas e algum ganho não negativo com probabilidade não nula. Esta é a hipótese de inexistência de arbitragens. Discute se ainda as hipóteses sobre as quais é possível cobrir uma opção utilizando-se uma estratégia de compra e venda que replique o seu ganho. Se for possível cobrir uma opção desta maneira, então o seu preço correto, ou livre de arbitragens, em qualquer instante antes do vencimento será a média dos ganhos no vencimento, medida em unidades do ativo sem risco, condicionada  à informação disponível no momento da avaliação. A média sendo tomada relativamente a uma medida que está diretamente relacionada à inexistência de arbitragens. A importante fórmula de Feynman-Kac mostra que este valor esperado é a solução de uma equação diferencial parcial. A notação de solução fraca de uma equação diferencial parcial é então introduzida e é mostrado, através de um teorema devido a J. L. Lions, que, sob hipóteses bastante razoáveis sobre a volatilidade e através da escolha apropriada de espaços vetoriais, existe e é única a solução da equação diferencial parcial para o preço de uma opção. Finalmente, discute-se um esquema para a solução numérica da equação de Black-Scholes com volatilidade local pelo método dos elementos finitos.