Algumas Aplicações da Geometria Riemanniana à Otimização
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Publicações do PESC
Esta tese está dividida em 5 partes. Na primeira estudamos as propriedades geométricas de uma classe de métricas Riemannianas diagonais sobre o ortante positivo IRn++ e o hipercubo (0, 1)n, espaços naturais onde se definem as restrições de alguns problemas de otimização. Obtemos alguns resultados úteis visando novos métodos de pontos interiores na perspectiva das aplicações da geometria Riemanniana à otimização. Na segunda parte estendemos os resultados de convergência global do método de máxima descida com busca de Armijo generalizada e uma regularização proximal para resolver problemas de minimização em variedades Riemannianas quando a função objetivo é quase-convexa. Na terceira parte, generalizamos o método de ponto proximal com distâncias de Bregman para resolver problemas de otimização sobre variedades de Hadamard para funções convexas e quase-convexas. Na quarta introduzimos uma nova barreira auto-concordante para o hipercubo, estudamos propriedades de convergência da sua trajetória primal-dual, e, para problemas de otimização linear com variáveis limitadas, apresentamos também alguns novos algoritmos primais. Finalmente, na quinta parte, estendemos os resultados obtidos na parte anterior para resolver uma classe de problemas de otimização semidefinida.
This thesis is divided in five parts. In the first part, we study the geometric properties of a class of diagonal Riemannian metrics on the positive orthant IRn++ and hypercube (0, 1)n, natural spaces where are defined some optimization problems. We obtain some useful results to obtain new interior point methods in the point of view of applications of Riemannian geometry tools. In the second part, we extend the global convergence result of the steepest descent method with a generalized Armijo search and a proximal regularization for solving minimization problems on Riemannian manifolds when the objective function is quasiconvex. In the third part, we generalize the proximal point method with Bregman distances to solve minimization problems defined on Hadamard manifolds for quasiconvex and convex functions. In the fourth part, we introduce a new self-concordant barrier for the hypercube and we study convergence properties of the primal-dual central path and, for solving linear optimization problems with bounded variables, we also introduce some new primal algorithms. Finally, in the fifty part, we extend our results to solve a class of semidefinite optimization problems.