Grafos Timbrais: Propriedades Estruturais e Aplicação Musical
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Pesc publication
Grafos relacionados com a teoria de códigos são amplamente estudados com foco em suas propriedades algébricas, na existência de ciclos hamiltonianos e na determinação do tamanho de suas cliques máximas. Nesta dissertação, investigamos os grafos timbrais T(n,k,l), cujos vértices são as palavras de comprimento k construídas sobre um alfabeto de n símbolos, de modo que duas palavras são adjacentes se, e somente se, concordam em exatamente l posições. Esses grafos foram introduzidos por A. Akhmedov e M. Winter em 2014 sob a perspectiva de modelar formas específicas de se compor música. Contudo, sua estreita relação com grafos advindos da teoria de códigos motiva investigações sobre outros aspectos dessa classe de grafos. Em particular, empreendemos estudos sobre os grupos de automorfismos dos grafos timbrais, examinando suas ações sobre os conjuntos dos vértices, arestas, arcos e pares de vértices equidistantes; sobre a existência de ciclos hamiltonianos, caracterizando os grafos timbrais que possuem essa propriedade; e sobre o tamanho de uma clique máxima, determinando limitantes superiores e inferiores para esse parâmetro e demonstrando a correspondência entre uma clique de tamanho n ao quadrado em T(n,n+1,1) e um plano afim de ordem n. Além disso, exploramos uma aplicação desses grafos na modelagem de composições musicais, desenvolvendo e avaliando métodos para a geração de fragmentos musicais.
Graphs related to coding theory are widely studied, with a focus on their algebraic properties, the existence of Hamiltonian cycles, and the size of their maximum cliques. In this dissertation, we investigate timbral graphs T(n,k,l), whose vertices represent fixed-length words of size k built on an alphabet of n symbols, where two words are adjacent if and only if they agree in exactly l positions. These graphs were introduced by A. Akhmedov and M. Winter in 2014 as a model for specific approaches to musical composition. However, their strong connection to graphs arising from coding theory motivates further exploration of other aspects of this class. In particular, we study the automorphism group of timbral graphs, examining its action on sets of vertices, edges, arcs, and pairs of equidistant vertices; the existence of Hamiltonian cycles, characterizing the timbral graphs that have this property; the size of a maximum clique, determining bounds for this parameter and establishing a correspondence between a clique of size n squared in T(n,n+1,1) and an affine plane of order n. Finally, we present an application of these graphs to the modeling of musical compositions, developing and evaluating methods for generating musical fragments.
