Sobre a Convergência Global de Uma Classe Geral de Métodos Lagrangianos Aumentados
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Informations:
Pesc publication
Em [E. G. Birgin, R. Castillo and J. M. Martínez, Computational Optimization and Applications 31, pp. 31--55, 2005] é introduzida uma classe geral de métodos lagrangianos aumentados salvaguardados que inclui um grande número de métodos diferentes da literatura. Além de uma comparação numérica incluindo 65 métodos diferentes, a convergência global primal-dual para um ponto KKT é mostrada sob uma condição de regularidade (forte). Aqui generalizamos esta estrutura considerando também atualizações clássicas/não-salvaguardadas dos multiplicadores de Lagrange. Isto é feito para dar um estudo teórico rigoroso ao chamado método lagrangiano aumentado hiperbólico, que não está salvaguardado, incluindo também o método lagrangiano aumentado clássico de Powell-Hestenes-Rockafellar. Nossos resultados são baseados em uma condição de regularidade fraca que não requer limitação do conjunto de multiplicadores de Lagrange. Surpreendentemente, em métodos não-salvaguardados, mostramos que o parâmetro de penalidade pode ser mantido constante em cada iteração, mesmo na falta de suposições de convexidade. Experimentos numéricos com todos os problemas das coleções Netlib e CUTEst são relatados para comparar e discutir as diferentes abordagens.
Palavras chaves:
Otimização não linear, métodos lagrangianos aumentados, convergência, experimentos numéricos.
In [E. G. Birgin, R. Castillo and J. M. Mart´?nez, Computational Optimization and Applications 31, pp. 31–55, 2005], a general class of safeguarded augmented Lagrangian methods is introduced which includes a large number of different methods from the literature. Besides a numerical comparison including 65 different methods, primal-dual global convergence to a KKT point is shown under a (strong) regularity condition. In the present work, we generalize this framework by considering also classical/non-safeguarded Lagrange multipliers updates. This is done in order to give a rigorous theoretical study to the so-called hyperbolic augmented Lagrangian method, which is not safeguarded, while also including the classical Powell-Hestenes-Rockafellar augmented Lagrangian method. Our results are based on a weak regularity condition which does not require boundedness of the set of Lagrange multipliers. Somewhat surprisingly, in non-safeguarded methods, we show that the penalty parameter may be kept constant at every iteration even in the lack of convexity assumptions. Numerical experiments with all the problems in the Netlib and CUTEst collections are reported to compare and discuss the different approaches.
Key words: Nonlinear optimization, augmented Lagrangian methods, convergence, numerical experiments.