II-1. Linguagem da Lógica Clássica Proposicional

w A linguagem proposicional é uma linguagem formal cujo objetivo é representar trechos de discurso de uma maneira precisa e sem ambigüidades.

w Os seguintes operadores são usados para formar proposições mais complexas:

e

Ù

ou

Ú

se <condição> então <conclusão>

®

não

¬

w Para representar proposições atômicas usaremos letras maiúsculas, por exemplo: A, B, C,...

Exemplos: A Ù B, A Ú B, A® B, ¬ A

Ex: Sócrates é um homem.

Se Sócrates é um homem então Sócrates é mortal.

A - Sócrates é um homem.

B - Sócrates é mortal.

BD: A

A® B

Definição:

Um alfabeto proposicional é composto por três conjuntos de símbolos:

  1. Conectivos/operadores lógicos: Ù , Ú , ® , ¬ , «

  2. Símbolos auxiliares: ( e )

  3. Símbolos proposicionais: qualquer letra maiúscula é um símbolo proposicional (ex: A, B,..., Z). Ocasionalmente podemos acrescentar um subscrito numérico a letras maiúsculas (A1, A2,...). Denotamos este conjunto por P.

Apresentaremos a seguir uma gramática para definirmos quais são as fórmulas bem formadas da linguagem:

Definição:

A noção de fórmula bem formada, ou simplesmente fórmula, é definida, indutivamente, pelas seguintes condições:

  1. Qualquer símbolo proposicional é uma fórmula.

  2. Se a e b são fórmulas então (a Ù b ), (a Ú b ), ¬ a , (a ® b ), (a « b ) também o são;

  3. Nada mais é fórmula.

Exemplos:

a) A® B (não é fórmula)

b) (A) ® ¬ (B) (não é fórmula)

c) (¬ AÚ B) Ù (BÙ C) ® D (não é fórmula)

d) ( (A® (B® ¬ A)) ® (AÚ B) ) (é fórmula)

e) (A ® (BÙ C)) (é fórmula)

Exercícios:

1. Represente as seguintes proposições utilizando a linguagem da lógica clássica proposicional. Utilize os símbolos proposicionais C (está chovendo) e N (está nevando).

a) Está chovendo, mas não está nevando.

b) Não é o caso que está chovendo ou nevando.

c) Se não está chovendo, então está nevando.

d) Não é o caso que se está chovendo então está nevando.

e) Está chovendo se e somente se está nevando.

f) Se está nevando e chovendo, então está nevando.

g) Se não está chovendo, então não é o caso que está nevando e chovendo.

Nos exercícios seguintes, represente cada proposição na linguagem da lógica proposicional, especificando em cada caso o significado dos símbolos proposicionais utilizados.

2. Ela não está em casa ou não está atendendo ao telefone. Mas se ela não está em casa, então ela foi seqüestrada. E se ela não está atendendo ao telefone, ela está correndo algum outro perigo. Ou ela foi seqüestrada ou ela está correndo um outro perigo.

3. Hoje é fim-de-semana se e somente se hoje é sábado ou domingo. Hoje não é sábado. Hoje não é domingo. Portanto, hoje não é um fim-de-semana.

4. A proposta de auxílio está no correio. Se os juízes a receberem até sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até sexta-feira.

Observação:

w Convenções sobre omissão de parênteses:

¬ > Ù > Ú > ®

¬ A ® B º (¬ A ® B)

A® A Ù B º A ® (A Ù B)

w Parênteses mais externos podem ser omitidos:

A ® (B® C) º (A ® (B® C))


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